Задание 23 ЕГЭ по физике №00017652

Идея

Свет идёт по прямым лучам. Лампа — не точка, а отрезок длиной $0{,}5$ м, поэтому за диском получается не только полная тень (куда не попадает свет ни от одной точки лампы), но и полутень. В задаче спрашивают про тень — ту область пола, куда не доходит свет ни от одного конца лампы.

Расставим высоты. Лампа на потолке — на высоте $4$ м. Диск — на высоте $3$ м. Значит, расстояние от лампы до диска $a = 4 - 3 = 1$ м, а от диска до пола $b = 3$ м.

Геометрия тени

Введём горизонтальную ось так, чтобы центр (общая вертикаль лампы и диска) был нулём. Половина длины лампы — $0{,}25$ м, радиус диска — $R = 0{,}5$ м.

Граница полной тени — это луч, идущий от ближнего (того же) края лампы через край диска. Возьмём правый край диска $x = +0{,}5$ м и правый конец лампы $x = +0{,}25$ м. По подобию треугольников координата точки на полу:

$x_{пол} = R + (R - x_{лампы})\cdot\dfrac{b}{a} = 0{,}5 + (0{,}5 - 0{,}25)\cdot\dfrac{3}{1} = 0{,}5 + 0{,}75 = 1{,}25$ м.

Дальше этой точки правый конец лампы уже «выглядывает» из-за диска и подсвечивает пол — значит, $1{,}25$ м и есть радиус полной тени: $r = 1{,}25$ м.

Площадь

Тень — круг радиуса $r$:

$S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot (1{,}25)^2 \approx 4{,}9 \approx 5$ м².