ID: 00017017
Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего изотоп ^{24}_{11}\text{Na}. Активность 1 см³ этого раствора a_0 = 2000 распадов в секунду. Период полураспада изотопа ^{24}_{11}\text{Na} равен T = 15{,}3 ч. Через t = 3 ч 50 мин активность 1 см³ крови пациента стала a = 0{,}28 распадов в секунду. Каков общий объём крови пациента, если объём введённого раствора равен 1 см³? Переходом ядер изотопа ^{24}_{11}\text{Na} из крови в другие ткани организма пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Та же история с меченым натрием, но теперь известен объём введённого раствора, а найти нужно объём всей крови. Активность пробы крови мала по двум причинам: метка распределилась по большому объёму и часть ядер успела распасться. Обе причины и дадут нам объём крови.
Ввели V_{р}=1 см³ с активностью a_0 на см³. Полная активность сразу: a_0 V_{р}. Через время t она стала a_0 V_{р}\cdot 2^{-t/T} (распад).
Эта активность размазана по всей крови объёма V, на 1 см³ приходится a=\dfrac{a_0 V_{р}\,2^{-t/T}}{V}. Отсюда
V = \dfrac{a_0\,V_{р}\,2^{-t/T}}{a}.
t=3{,}83 ч, 2^{-t/T}=2^{-0{,}25}\approx0{,}84.
V = \dfrac{2000\cdot 1\cdot 0{,}84}{0{,}28} \approx 6000\text{ см}^3 = 6\text{ л}.
Ответ: V ≈ 6 л.
V = a₀·Vр·2^(−t/T) / a ≈ 6 л