ID: 00017017
Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего изотоп $^{24}_{11}\text{Na}$. Активность 1 см³ этого раствора $a_0 = 2000$ распадов в секунду. Период полураспада изотопа $^{24}_{11}\text{Na}$ равен $T = 15{,}3$ ч. Через $t = 3$ ч 50 мин активность 1 см³ крови пациента стала $a = 0{,}28$ распадов в секунду. Каков общий объём крови пациента, если объём введённого раствора равен 1 см³? Переходом ядер изотопа $^{24}_{11}\text{Na}$ из крови в другие ткани организма пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Та же история с меченым натрием, но теперь известен объём введённого раствора, а найти нужно объём всей крови. Активность пробы крови мала по двум причинам: метка распределилась по большому объёму и часть ядер успела распасться. Обе причины и дадут нам объём крови.
Ввели $V_{р}=1$ см³ с активностью $a_0$ на см³. Полная активность сразу: $a_0 V_{р}$. Через время $t$ она стала $a_0 V_{р}\cdot 2^{-t/T}$ (распад).
Эта активность размазана по всей крови объёма $V$, на 1 см³ приходится $a=\dfrac{a_0 V_{р}\,2^{-t/T}}{V}$. Отсюда
$V = \dfrac{a_0\,V_{р}\,2^{-t/T}}{a}.$
$t=3{,}83$ ч, $2^{-t/T}=2^{-0{,}25}\approx0{,}84$.
$V = \dfrac{2000\cdot 1\cdot 0{,}84}{0{,}28} \approx 6000\text{ см}^3 = 6\text{ л}.$
V = a₀·Vр·2^(−t/T) / a ≈ 6 л