Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00048631

Электрон назван релятивистским — значит, его скорость сравнима со скоростью света, и школьная формула $p=mv$ не годится. Импульс в теории относительности:

$$p=\dfrac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Шаг 1. Сравним импульс с $mc$. Масса электрона $m=9{,}1\cdot10^{-31}$ кг, $c=3\cdot10^{8}$ м/с:

$$mc=9{,}1\cdot10^{-31}\cdot3\cdot10^{8}=2{,}73\cdot10^{-22}\ \text{кг}\cdot\text{м/с},\qquad k=\dfrac{p}{mc}=\dfrac{1{,}59}{2{,}73}\approx0{,}582.$$

Шаг 2. Уравнение для скорости. Обозначим $\beta=\dfrac{v}{c}$. Делим формулу импульса на $mc$:

$$\dfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=k.$$

Возводим в квадрат, чтобы избавиться от корня: $\beta^2=k^2(1-\beta^2)$, откуда

$$\beta^2=\dfrac{k^2}{1+k^2}=\dfrac{0{,}339}{1{,}339}\approx0{,}253,\qquad \beta\approx0{,}503.$$

Округляем до десятых: $v\approx0{,}5c$.

Проверим себя. При $v=0{,}503c$ множитель $\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}253}}\approx1{,}157$, и $p\approx1{,}157\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot0{,}503\cdot3\cdot10^{8}\approx1{,}59\cdot10^{-22}$ кг·м/с — как в условии. А по школьной $p=mv$ вышло бы $v=\dfrac{p}{m}\approx0{,}58c$ — завышено, потому что классическая формула не учитывает рост импульса у быстрых частиц.