ID: 00009509
Школьник заинтересовался вопросом о том, как будут светить разные лампы накаливания при различных способах их совместного использования. Для проведения опытов он взял две лампы, рассчитанные на одинаковое напряжение 220 В. Лампа №1 имела номинальную мощность 40 Вт, а лампа №2 — 150 Вт. Сначала школьник соединил эти лампы параллельно, подключил получившуюся электрическую цепь к напряжению 127 В и посмотрел, как светят лампы. Затем он соединил эти лампы последовательно, снова подключил получившуюся электрическую цепь к тому же напряжению 127 В и опять посмотрел, как светят лампы.
Напишите, как светят лампы №1 и №2 при их параллельном и последовательном подключении — одинаково ярко или нет, и если не одинаково, то для каждого случая укажите, какая светит ярче.
Ответ обоснуйте, указав, какие физические закономерности Вы использовали для объяснения. Зависимость сопротивления нити лампы накаливания от температуры не учитывайте.
Источник: ФИПИ
Две лампы накаливания, рассчитанные на одно и то же номинальное напряжение $U_{\text{ном}} = 220\ \text{В}$: лампа №1 номинальной мощности $P_1 = 40\ \text{Вт}$, лампа №2 — $P_2 = 150\ \text{Вт}$. Обе схемы (параллельная и последовательная) подключаются к одному и тому же напряжению $U = 127\ \text{В}$. Нужно сравнить яркость ламп в каждом из двух случаев и обосновать сравнение законами физики.
Яркость лампы накаливания определяется мощностью, которая выделяется на её нити: чем больше мощность, тем выше температура нити и тем ярче она светит. Поэтому сравнение яркости сводится к сравнению мощностей $P = UI$.
По условию зависимость сопротивления нити от температуры не учитывается, значит каждую лампу можно считать резистором с постоянным сопротивлением, и к участку цепи применим закон Ома: $I = U/R$. Сопротивления ламп находим из паспортных данных (номинальные значения), потому что при номинальном напряжении $220\ \text{В}$ лампа потребляет свою номинальную мощность.
Соединительные провода считаем идеальными (без сопротивления), источник — с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, так что напряжение на участке цепи в обоих опытах одно и то же и равно $127\ \text{В}$.
Сопротивления ламп. Из формулы мощности $P = U^2/R$ при номинальном напряжении: $$R = \frac{U_{\text{ном}}^2}{P_{\text{ном}}}.$$ $$R_1 = \frac{(220\ \text{В})^2}{40\ \text{Вт}} = 1210\ \text{Ом},\qquad R_2 = \frac{(220\ \text{В})^2}{150\ \text{Вт}} \approx 323\ \text{Ом}.$$ Ключевой вывод: у лампы меньшей номинальной мощности сопротивление больше, то есть $R_1 > R_2$.
Параллельное соединение. При параллельном соединении напряжение на обеих лампах одинаково и равно напряжению сети $U = 127\ \text{В}$. Мощность каждой лампы удобно записать через напряжение: $$P = \frac{U^2}{R}.$$ Числитель у обеих ламп одинаков, поэтому больше мощность у той лампы, у которой меньше сопротивление. Так как $R_2 < R_1$, то $P_2' > P_1'$: ярче светит лампа №2 (та, что на $150\ \text{Вт}$).
Последовательное соединение. При последовательном соединении через обе лампы течёт один и тот же ток $I$ (заряд не накапливается в проводнике). Теперь мощность удобно записать через ток: $$P = I^2 R.$$ Множитель $I^2$ у обеих ламп одинаков, поэтому больше мощность у той лампы, у которой больше сопротивление. Так как $R_1 > R_2$, то $P_1'' > P_2''$: ярче светит лампа №1 (та, что на $40\ \text{Вт}$).
Параллельное соединение, $U = 127\ \text{В}$: $$P_1' = \frac{(127\ \text{В})^2}{1210\ \text{Ом}} \approx 13\ \text{Вт},\qquad P_2' = \frac{(127\ \text{В})^2}{323\ \text{Ом}} \approx 50\ \text{Вт}.$$ Лампа №2 светит примерно вчетверо ярче.
Последовательное соединение: общее сопротивление $R = R_1 + R_2 = 1210 + 323 = 1533\ \text{Ом}$, ток $$I = \frac{127\ \text{В}}{1533\ \text{Ом}} \approx 0{,}083\ \text{А}.$$ $$P_1'' = I^2 R_1 \approx (0{,}083)^2\cdot 1210 \approx 8{,}3\ \text{Вт},\qquad P_2'' = I^2 R_2 \approx (0{,}083)^2\cdot 323 \approx 2{,}2\ \text{Вт}.$$ Теперь заметно ярче лампа №1, а лампа №2 светит еле-еле.
Итог сравнения: при параллельном подключении ярче лампа №2 ($150\ \text{Вт}$), при последовательном — наоборот, ярче лампа №1 ($40\ \text{Вт}$); причина в том, что при равном напряжении мощность обратно пропорциональна сопротивлению, а при равном токе — прямо пропорциональна ему.