Дано:

\mathcal{E} = 7\text{ В}, U_1 = 6\text{ В} (показание одного вольтметра), три одинаковых вольтметра с R_V

Найти:

показание вольтметра №1

Решение:

Ситуация 1 (один вольтметр R_V и внутреннее сопротивление r):

U_1 = I_1 R_V = 6\text{ В}, \quad \mathcal{E} = I_1(R_V + r) = 7\text{ В}

Из этого: I_1 r = 1\text{ В}, I_1 R_V = 6\text{ В}.

Отношение: \dfrac{R_V}{r} = 6 \implies R_V = 6r. Таким образом: \dfrac{R_V}{R_V + r} = \dfrac{6}{7}.

Ситуация 2 (вольтметр 1 последовательно, вольтметры 2 и 3 параллельно):

Параллельное сопротивление двух одинаковых: R_\text{пар} = \frac{R_V}{2}.

Общее сопротивление внешней цепи: R_\text{общ} = R_V + \frac{R_V}{2} = \frac{3R_V}{2}.

Новый ток: I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_\text{общ} + r} = \dfrac{\mathcal{E}}{\frac{3R_V}{2} + r}.

Из ситуации 1: R_V = 6r, поэтому:

I_2 = \frac{\mathcal{E}}{\frac{3 \cdot 6r}{2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{9r + r} = \frac{\mathcal{E}}{10r}

Также: I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_V + r} = \dfrac{\mathcal{E}}{7r}.

Показание вольтметра №1 (через него течёт общий ток I_2):

U_{V1} = I_2 \cdot R_V = \frac{\mathcal{E}}{10r} \cdot 6r = \frac{6\mathcal{E}}{10} = \frac{3\mathcal{E}}{5}

U_{V1} = \frac{3 \cdot 7}{5} = 4{,}2\text{ В}