ID: 00004916
Школьник прочитал в научно-популярной книге, что ускорение свободного падения на поверхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли, масса Земли равна 6 · 1024 кг, а радиус Земли примерно в 3,7 раз больше радиуса Луны. Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения, относящиеся к Земле и Луне. Запишите цифры, под которыми они указаны.
1) Если подбросить тело массой 1 кг вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью на Земле и Луне, то на Земле, без учёта сопротивления воздуха, максимальная высота подъёма этого тела будет в 6 раз меньше, чем на Луне.
2) Средняя плотность Земли равна средней плотности Луны.
3) Масса Луны примерно равна 7,3 · 1022 кг.
4) Радиус Земли примерно равен 9000 км.
5) Вес покоящегося тела на поверхности Луны в 6 раз меньше, чем на поверхности Земли.
Источник: ФИПИ
Дано: g_Л=\dfrac{g_З}{6}, масса Земли M_З=6\cdot10^{24} кг, радиус Земли R_З=3{,}7\,R_Л. Проверим каждое утверждение.
1) Максимальная высота вертикального броска h=\dfrac{v_0^2}{2g}. При одинаковой начальной скорости высота обратно пропорциональна g. Поскольку g_Л в 6 раз меньше, на Луне тело поднимется в 6 раз выше, то есть на Земле высота в 6 раз МЕНЬШЕ — ВЕРНО.
2) Средняя плотность. Из g=\dfrac{GM}{R^2} и M=\rho\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^3 следует g\sim\rho R, значит \rho\sim\dfrac{g}{R}. Тогда \dfrac{\rho_З}{\rho_Л}=\dfrac{\frac{g_З}{R_З}}{\frac{g_Л}{R_Л}}=\dfrac{6}{3{,}7}\approx1{,}6\neq1 — плотности НЕ равны, неверно.
3) Масса Луны. Так как M\sim gR^2, то \dfrac{M_Л}{M_З}=\dfrac{g_Л}{g_З}\left(\dfrac{R_Л}{R_З}\right)^2=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{3{,}7^2}\approx\dfrac{1}{82}, откуда M_Л\approx\dfrac{6\cdot10^{24}}{82}\approx7{,}3\cdot10^{22} кг — ВЕРНО.
4) Радиус Земли R_З=\sqrt{\dfrac{GM_З}{g_З}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}8}}\approx6{,}4\cdot10^{6} м \approx6400 км, а не 9000 км — неверно.
5) Вес покоящегося тела P=mg. На Луне g в 6 раз меньше, поэтому и вес в 6 раз меньше — ВЕРНО.
Верные утверждения: 1, 3 и 5.