Динамика — Задание 5 ЕГЭ по физике №00004916

Дано:

$g_{\text{Луны}} = \dfrac{g_{\text{Земли}}}{6}$ $M_{\text{Земли}} = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$ $R_{\text{Земли}} = 3{,}7 \cdot R_{\text{Луны}}$

Найти:

Все верные утверждения.

Решение:

Утверждение 1. Если подбросить тело массой $1 \text{ кг}$ вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью $v_0$ на Земле и на Луне, то на Земле максимальная высота подъёма будет в 6 раз меньше. По закону сохранения энергии (без сопротивления воздуха): $$H = \frac{v_0^2}{2g}$$ Так как $g_{\text{Луны}} = g_{\text{Земли}}/6$, то: $$\frac{H_{\text{Земли}}}{H_{\text{Луны}}} = \frac{g_{\text{Луны}}}{g_{\text{Земли}}} = \frac{1}{6}$$ Верно. Утверждение 2. Средняя плотность Земли равна средней плотности Луны. Ускорение свободного падения: $g = \dfrac{GM}{R^2}$. Отношение ускорений: $$\frac{g_{\text{Земли}}}{g_{\text{Луны}}} = 6 = \frac{M_{\text{Земли}}}{M_{\text{Луны}}} \cdot \left(\frac{R_{\text{Луны}}}{R_{\text{Земли}}}\right)^2 = \frac{M_{\text{Земли}}}{M_{\text{Луны}}} \cdot \frac{1}{3{,}7^2}$$ Отсюда: $$\frac{M_{\text{Земли}}}{M_{\text{Луны}}} = 6 \cdot 3{,}7^2 = 6 \cdot 13{,}69 \approx 82{,}14$$ Плотность: $\rho = \dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ $$\frac{\rho_{\text{Земли}}}{\rho_{\text{Луны}}} = \frac{M_{\text{Земли}}}{M_{\text{Луны}}} \cdot \left(\frac{R_{\text{Луны}}}{R_{\text{Земли}}}\right)^3 = 82{,}14 \cdot \frac{1}{3{,}7^3} = \frac{82{,}14}{50{,}65} \approx 1{,}62$$ Плотности различаются примерно в $1{,}62$ раза. Неверно. Утверждение 3. Масса Луны примерно $7{,}3 \cdot 10^{22} \text{ кг}$. $$M_{\text{Луны}} = \frac{M_{\text{Земли}}}{82{,}14} = \frac{6 \cdot 10^{24}}{82{,}14} \approx 7{,}3 \cdot 10^{22} \text{ кг}$$ Верно. Утверждение 4. Радиус Земли примерно $9000 \text{ км}$. $$R_{\text{Земли}} = \sqrt{\frac{GM_{\text{Земли}}}{g_{\text{Земли}}}} = \sqrt{\frac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{10}} \approx 6{,}3 \cdot 10^6 \text{ м} \approx 6300 \text{ км}$$ Неверно ($9000 \text{ км}$ — завышено). Утверждение 5. Вес покоящегося тела на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. Для покоящегося тела: $P = mg$. Поскольку $g_{\text{Луны}} = g_{\text{Земли}}/6$ и масса тела $m$ не меняется: $$\frac{P_{\text{Земли}}}{P_{\text{Луны}}} = \frac{g_{\text{Земли}}}{g_{\text{Луны}}} = 6$$ Верно. Верные утверждения: 1, 3, 5.