ID: 00002906
Участок цепи, схема которого изображена на рисунке, до замыкания ключа К имел электрическую ёмкость 3 нФ. После замыкания ключа электроёмкость данного участка цепи стала равной 4 нФ. Чему равна электроёмкость конденсатора $C_{x}$ (в нФ)?
Источник: ФИПИ
В верхнем ряду четыре одинаковых конденсатора $C$ соединены последовательно между левым и правым выводами участка цепи. От точки между 1-м и 2-м конденсатором (назовём её $A$) отведён провод к одной обкладке $C_x$; от точки между 3-м и 4-м конденсатором (точка $B$) через ключ $K$ отведён провод ко второй обкладке $C_x$.
До замыкания ключа. Конденсатор $C_x$ подключён только одной обкладкой (к точке $A$), вторая обкладка висит в воздухе — на общую ёмкость участка это не влияет. Работают только четыре последовательных конденсатора $C$: $\dfrac{1}{C_{до}}=\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}=\dfrac{4}{C}$, откуда $C_{до}=\dfrac{C}{4}$. По условию $C_{до}=3$ нФ, значит $C=4\cdot3=12$ нФ.
После замыкания ключа. Теперь $C_x$ подключён между точками $A$ и $B$ — то есть стоит ПАРАЛЛЕЛЬНО двум средним конденсаторам $C$, которые сами включены последовательно друг с другом между $A$ и $B$. Ёмкость этих двух средних конденсаторов: $C_{AB}=\dfrac{C}{2}=\dfrac{12}{2}=6$ нФ. С учётом параллельного $C_x$ ёмкость между $A$ и $B$ становится $C_{AB}'=\dfrac{C}{2}+C_x$.
Теперь весь участок — это три элемента подряд: крайний левый конденсатор $C$, затем блок $C_{AB}'$, затем крайний правый конденсатор $C$ — все три последовательно:
$\dfrac{1}{C_{после}}=\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C_{AB}'}+\dfrac{1}{C}=\dfrac{2}{C}+\dfrac{1}{\frac{C}{2}+C_x}$.
Подставляем известное $C_{после}=4$ нФ и $C=12$ нФ: $\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{6+C_x}$, то есть $\dfrac{1}{6+C_x}=\dfrac14-\dfrac16=\dfrac{3-2}{12}=\dfrac{1}{12}$, откуда $6+C_x=12$ и $C_x=6$ нФ.