Решение
Дано:
$\eta = 20\% = 0{,}2,\quad \nu = 1\text{ (одноатомный газ, } i = 3\text{)}$
Найти:
$A_{12} / A'_{31}$ — ?
Решение:
Рассмотрим каждый процесс цикла.
Процесс 1→2 (изобарный):
При постоянном давлении газ расширяется, совершает положительную работу и нагревается. По первому началу термодинамики:
$$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}$$
Для одноатомного газа $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} p \Delta V$. Поскольку $A_{12} = p \Delta V$:
$$Q_{12} = \frac{3}{2} A_{12} + A_{12} = \frac{5}{2} A_{12}$$
Так как $Q_{12} \gt 0$ — это теплота нагревателя: $Q_1 = Q_{12}$.
Процесс 2→3 (изохорный):
Объём постоянен, $A_{23} = 0$. Давление убывает, температура падает, $Q_{23} \lt 0$ — теплота отдаётся холодильнику.
Процесс 3→1 (адиабатный):
$Q_{31} = 0$. По первому началу: $A'_{31} = -A_{31} = \Delta U_{31}$ (работа совершается над газом).
КПД через работы:
$$\eta = \frac{A_{12} - A'_{31}}{Q_1} = \frac{A_{12} - A'_{31}}{\frac{5}{2} A_{12}}$$
Отсюда:
$$\frac{5}{2} A_{12} \cdot \eta = A_{12} - A'_{31}$$
$$A'_{31} = A_{12} \left(1 - \frac{5}{2} \eta\right)$$
$$\frac{A_{12}}{A'_{31}} = \frac{1}{1 - \frac{5}{2} \cdot 0{,}2} = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$
