ID: 00002781
1 моль разреженного гелия участвует в циклическом процессе 1-2-3-4-1, график которого изображен на рисунке в координатах р-Т, где р — давление газа, Т — абсолютная температура. Постройте график цикла в координатах р-V, где р — давление газа, V — объём газа. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, объясните построение графика. Определите, во сколько раз работа газа в процессе 1-2 меньше работы внешних сил в процессе 3-4.
Источник: ФИПИ
$\nu = 1$ моль He, цикл 1–2–3–4 в координатах $P$–$T$
$\frac{|A_{34}|}{A_{12}}$
Из уравнения Менделеева–Клапейрона $PV = \nu RT$ при $\nu = 1$, $R = \text{const}$:
Процесс 1–2 (изобарный, $P = P_0$, $T: T_0 \to 3T_0$):
$$\frac{V_1}{T_0} = \frac{V_2}{3T_0} \implies V_2 = 3V_1 = 3V_0$$
Процесс 2–3 (изохорный): $V = 3V_0 = \text{const}$, $P: P_0 \to 2P_0$.
Процесс 3–4 (изобарный, $P = 2P_0$, $T: 6T_0 \to 2T_0$):
$$\frac{V_3}{6T_0} = \frac{V_4}{2T_0} \implies V_4 = \frac{V_3}{3} = V_0$$
Процесс 4–1 (изохорный): $V = V_0 = \text{const}$.
График $P$–$V$: прямоугольник с вершинами $(V_0,P_0)$, $(3V_0,P_0)$, $(3V_0,2P_0)$, $(V_0,2P_0)$.
Работа газа в изобарном процессе равна площади прямоугольника под графиком:
$$A_{12} = P_0 \cdot (3V_0 - V_0) = 2P_0 V_0$$
$$|A_{34}| = 2P_0 \cdot (3V_0 - V_0) = 4P_0 V_0$$
$$\frac{|A_{34}|}{A_{12}} = \frac{4P_0 V_0}{2P_0 V_0} = 2$$
Перестроим график цикла в координатах р-V.
Процесс 1-2 является изобарным, в нём абсолютная температура газа увеличилась в 3 раза, а значит, согласно закону Гей-Люссака (V/T = const) и объём газа увеличился в 3 раза.
Процесс 2-3 является изохорным, поскольку его график в координатах p-T проходит через начало координат (V/T = const). В этом процессе и давление, и абсолютная температура газа увеличились в 2 раза.
В процессе 3-4 газ изобарно уменьшил свою абсолютную температуру и давление в 3 раза, а в процессе 4-1 изохорно вернулся в исходное состояние (см. рисунок).
Из графика видно, что работа газа в процессе 1-2: $A_{12}$=$р_{о}$ • ($3V_{0}-V_{0}$) = $2p_{0}V_{0}$ , а работа внешних сил в процессе 3-4: $А_{34}$ = $2р_{0}$-($ЗV_{0}-V_{0}$) = $4р_{0}V_{0}$.
Таким образом, искомое отношение $A_{34} / A_{12}$ = 2
Ответ: 2