Искусственный спутник обращается вокруг Земли по вытянутой эллиптической орбите. В некоторый момент времени спутник проходит положение максимального удаления от Земли. Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения.
1) Скорость спутника при прохождении этого положения максимальна.
2) Полная механическая энергия спутника при прохождении этого положения максимальна.
3) Импульс спутника при прохождении этого положения минимален.
4) Ускорение спутника при прохождении этого положения минимально.
5) Сила притяжения спутника к Земле при прохождении этого положения максимальна.
Решение
Дано:
спутник на эллиптической орбите; анализируется точка максимального удаления от Земли (апогей).
Найти:
два верных утверждения.
Решение:
Утверждение 1: Скорость максимальна.
По закону сохранения механической энергии:
$$\frac{mv^2}{2} + mgh = \text{const}$$
В апогее высота $h$ наибольшая, значит потенциальная энергия максимальна, а кинетическая — минимальна. Скорость в апогее минимальна. Утверждение неверно.
Утверждение 2: Полная механическая энергия максимальна.
Полная механическая энергия спутника постоянна во всех точках орбиты (в отсутствие диссипации). Нельзя говорить о «максимуме» постоянной величины. Утверждение неверно.
Утверждение 3: Импульс спутника минимален.
Импульс: $p = mv$. Масса спутника постоянна, а скорость в апогее минимальна, значит:
$$p = mv \to \text{минимум}$$
Утверждение верно.
Утверждение 4: Ускорение минимально.
Сила гравитации:
$$F = \frac{GMm}{r^2} = ma \implies a = \frac{GM}{r^2}$$
В апогее расстояние $r$ наибольшее, значит ускорение:
$$a \propto \frac{1}{r^2} \to \text{минимум}$$
Утверждение верно.
Утверждение 5: Сила притяжения максимальна.
$F \propto 1/r^2$ — в апогее $r$ максимально, значит сила минимальна. Утверждение неверно.
Два верных утверждения: 3 и 4.