Задание 18 ОГЭ по математике №00045853

Точка $E$ лежит на стороне $AB$, и нужно понять, во сколько раз кусок $AE$ длиннее куска $BE$. Сам отрезок $AB$ наклонный, его длину по клеткам не сосчитать — но для отношения длина и не нужна.

Читаем рисунок по вертикальным линиям сетки: точка $A$ стоит на вертикали номер $1$ (считая от левого края поля), точка $E$ — на вертикали $6$, точка $B$ — на вертикали $8$.

Правило (теорема Фалеса в общем виде, о пропорциональных отрезках): параллельные прямые, пересекающие две прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки. Вертикальные линии сетки через $A$, $E$ и $B$ параллельны. Они режут наклонный отрезок $AB$ и горизонтальную прямую через $A$ в одном и том же отношении.

По горизонтали от $A$ до $E$: $6-1=5$ клеток; от $E$ до $B$: $8-6=2$ клетки. Значит, и на самом отрезке $AB$:

$$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.$$

Проверим себя через подобие. Проведём через $A$ горизонталь, а через $E$ и $B$ — вертикали до неё; получатся два прямоугольных треугольника с общим острым углом при $A$, то есть подобные. Горизонтальные катеты $5$ и $7$, значит, $AE=\dfrac57\,AB$, а $BE=AB-AE=\dfrac27\,AB$. Отношение $\dfrac57:\dfrac27=\dfrac52=2{,}5$. Сходится.