Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC равно 42, MN равно 20. Площадь треугольника MBN равна 120. Найдите площадь треугольника ABC.

Треугольники… — Задание 15 ОГЭ по математике №00045826

Задание №15. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Треугольники общего вида

№2. Задание 15

ID: 00045826

Прямая, параллельная стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ , пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно, $$AC=42$$ , $$MN=20$$ . Площадь треугольника $$MBN$$ равна 120. Найдите площадь треугольника $$ABC$$ .

Рисунок к заданию 15 ОГЭ по математике — Треугольники общего вида

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Прямая $$MN$$ параллельна $$AC$$ , поэтому маленький треугольник $$MBN$$ и большой $$ABC$$ подобны. Почему: угол $$B$$ у них общий, а углы $$BMN$$ и $$BAC$$ равны как соответственные при параллельных прямых $$MN$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$ .

Найдём коэффициент подобия — во сколько раз большой треугольник больше маленького. Стороне $$AC$$ соответствует сторона $$MN$$ :

$k=\dfrac{AC}{MN}=\dfrac{42}{20}=2{,}1.$

Правило: площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия — ведь и основание, и высота выросли в $$k$$ раз.

$k^2=2{,}1^2=4{,}41.$

$S_{ABC}=S_{MBN}\cdot k^2=120\cdot 4{,}41.$

Посчитаем по частям: $120\cdot 4=480$ , $120\cdot 0{,}41=49{,}2$ , всего $$480+49{,}2=529{,}2$$ .

Проверим себя прикидкой: если бы $$AC$$ была ровно вдвое длиннее $$MN$$ , площадь выросла бы в $$4$$ раза и стала бы $$480$$ . У нас отношение чуть больше двух, поэтому и площадь чуть больше $$480$$ — так и есть.

Ответ

529,2

Другие задания по теме «Треугольники общего вида» (8)