Треугольники… — Задание 15 ОГЭ по математике №00045821

Нам дан синус угла $A$, а нужен косинус того же угла. Связывает их основное тригонометрическое тождество: для любого угла $\sin^2A+\cos^2A=1$.

Сначала найдём квадрат синуса. В квадрат возводятся и числитель, и знаменатель: $(\sqrt{15})^2=15$, $8^2=64$.

$$\sin^2A=\left(\dfrac{\sqrt{15}}{8}\right)^2=\dfrac{15}{64}.$$

Теперь выразим квадрат косинуса:

$$\cos^2A=1-\dfrac{15}{64}=\dfrac{64-15}{64}=\dfrac{49}{64}.$$

Извлекаем корень: $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{64}=8$, так что $\cos A=\dfrac{7}{8}$ или $\cos A=-\dfrac{7}{8}$. Угол $A$ острый, а косинус острого угла положителен, поэтому $\cos A=\dfrac{7}{8}$.

Переведём в десятичную дробь: $7:8=0{,}875$.

Проверим себя другим способом. Построим прямоугольный треугольник с острым углом $A$, где противолежащий катет $\sqrt{15}$, а гипотенуза $8$ — тогда синус как раз $\dfrac{\sqrt{15}}{8}$. Прилежащий катет по теореме Пифагора равен $\sqrt{64-15}=\sqrt{49}=7$, а косинус — это прилежащий катет, делённый на гипотенузу: $\dfrac{7}{8}$. Сходится.