Треугольники… — Задание 15 ОГЭ по математике №00045819

Задание №15. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Треугольники общего вида

№2. Задание 15

ID: 00045819

Точки $$M$$ и $$N$$ являются серединами сторон $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ соответственно. Отрезки $$AN$$ и $$CM$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$AN=30$$ , $$CM=36$$ . Найдите $$OM$$ .

Рисунок к заданию 15 ОГЭ по математике — Треугольники общего вида

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Читаем условие и рисунок: $$M$$ — середина стороны $$AB$$ , $$N$$ — середина стороны $$BC$$ . Отрезок $$AN$$ идёт из вершины $$A$$ в середину противоположной стороны — это медиана. Отрезок $$CM$$ тоже медиана: он идёт из вершины $$C$$ в середину стороны $$AB$$ . Точка $$O$$ — точка пересечения медиан.

Правило: медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении $$2:1$$ , считая от вершины. Проще говоря, кусок у вершины вдвое длиннее куска у стороны.

Нам нужен $$OM$$ — кусок медианы $$CM$$ между точкой $$O$$ и стороной $$AB$$ , то есть короткий кусок. Вся медиана $$CM$$ состоит из трёх одинаковых частей: две из них приходятся на $$OC$$ , одна — на $$OM$$ .

$OM=\dfrac{CM}{3}=\dfrac{36}{3}=12.$

Длина $$AN=30$$ относится к другой медиане, для $$OM$$ она не понадобилась.

Проверим себя: тогда $$OC=36-12=24$$ , и действительно $$24:12=2:1$$ , считая от вершины $$C$$ . На рисунке точка $$O$$ тоже заметно ближе к $$M$$ , чем к $$C$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Треугольники общего вида» (8)