Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC равно 32, MN равно 15. Площадь треугольника MBN равна 45. Найдите площадь треугольника ABC.

Треугольники… — Задание 15 ОГЭ по математике №00045825

Задание №15. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Треугольники общего вида

№2. Задание 15

ID: 00045825

Прямая, параллельная стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ , пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно, $$AC=32$$ , $$MN=15$$ . Площадь треугольника $$MBN$$ равна 45. Найдите площадь треугольника $$ABC$$ .

Рисунок к заданию 15 ОГЭ по математике — Треугольники общего вида

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Прямая $$MN$$ параллельна стороне $$AC$$ и отсекает от треугольника $$ABC$$ маленький треугольник $$MBN$$ . Покажем, что он — уменьшенная копия большого, то есть треугольники подобны.

Угол $$B$$ у треугольников общий. Углы $$BMN$$ и $$BAC$$ равны как соответственные при параллельных прямых $$MN$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$ . Два угла одного треугольника равны двум углам другого — значит, $\triangle MBN\sim\triangle ABC$ .

Коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны большого треугольника длиннее соответствующих сторон маленького. Стороне $$AC$$ соответствует $$MN$$ :

$k=\dfrac{AC}{MN}=\dfrac{32}{15}.$

Правило: площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Причина простая: и основание, и высота увеличиваются в $$k$$ раз, а площадь — это половина их произведения.

$S_{ABC}=S_{MBN}\cdot k^2=45\cdot\left(\dfrac{32}{15}\right)^2=45\cdot\dfrac{1\,024}{225}.$

Сократим: $$225:45=5$$ , поэтому $45\cdot\dfrac{1\,024}{225}=\dfrac{1\,024}{5}=204{,}8$ .

Проверим себя прикидкой: $k=\dfrac{32}{15}$ чуть больше $$2$$ , значит, площадь должна быть чуть больше, чем $2^2\cdot 45=180$ . Так и вышло.

Ответ

204,8

Другие задания по теме «Треугольники общего вида» (8)