Треугольники… — Задание 15 ОГЭ по математике №00045820

Задание №15. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Треугольники общего вида

№2. Задание 15

ID: 00045820

Точки $$M$$ и $$N$$ являются серединами сторон $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ соответственно. Отрезки $$AN$$ и $$CM$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$AN=42$$ , $$CM=48$$ . Найдите $$OC$$ .

Рисунок к заданию 15 ОГЭ по математике — Треугольники общего вида

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ . Поэтому $$AN$$ и $$CM$$ — медианы треугольника: каждая соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Они пересекаются в точке $$O$$ .

Правило: точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$ , считая от вершины. Это значит, что медиана делится на три равные части, и две из них лежат у вершины.

Нам нужен $$OC$$ — кусок медианы $$CM$$ от вершины $$C$$ до точки $$O$$ . Это длинный кусок, две трети всей медианы:

$OC=\dfrac{2}{3}\cdot CM=\dfrac{2}{3}\cdot 48=\dfrac{96}{3}=32.$

Длина $$AN=42$$ относится к другой медиане и для $$OC$$ не нужна.

Проверим себя: оставшийся кусок $$OM=48-32=16$$ , и $$32:16=2:1$$ — ровно как требует правило. На рисунке тоже видно: $$OC$$ примерно вдвое длиннее $$OM$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Треугольники общего вида» (8)