Окружность,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00044028

У квадрата две окружности с общим центром — центром квадрата. Вписанная касается всех четырёх сторон, описанная проходит через все четыре вершины.

Вписанная окружность касается двух противоположных сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата:

$$a=2r=2\cdot 7\sqrt2=14\sqrt2.$$

Описанная окружность проходит через две противоположные вершины, поэтому её диаметр — это диагональ квадрата. Диагональ квадрата в $\sqrt2$ раз длиннее стороны (по теореме Пифагора $d^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}$):

$$d=a\sqrt2=14\sqrt2\cdot\sqrt2=14\cdot 2=28.$$

Радиус описанной окружности — половина диагонали:

$$R=\dfrac{28}{2}=14.$$

Проверим себя другим способом. Соединим центр с точкой касания на стороне и с ближайшей вершиной: получится прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $r$ и $r$ и гипотенузой $R$. Значит, $R=r\sqrt2=7\sqrt2\cdot\sqrt2=7\cdot 2$ — то же число.