Окружность,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00044021

Правильный (равносторонний) треугольник вписан в окружность. Центр этой окружности совпадает с точкой пересечения медиан треугольника — у равностороннего треугольника медианы, высоты и биссектрисы совпадают.

В условии дан диаметр, а нам удобнее радиус — расстояние от центра до вершины. Радиус — половина диаметра:

$$R=\dfrac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3.$$

Правило: медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, радиус $R$ — это $\dfrac23$ медианы (она же высота) $h$:

$$h=\dfrac{3}{2}R=\dfrac32\cdot 6\sqrt3=9\sqrt3.$$

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Приравняем:

$$\dfrac{a\sqrt3}{2}=9\sqrt3\quad\Rightarrow\quad a=18.$$

Проверим себя готовой формулой: сторона правильного треугольника равна $R\sqrt3$, и $6\sqrt3\cdot\sqrt3=6\cdot 3=18$. Сходится.