Касательная,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00044027

Точка $K$ лежит вне окружности справа. Прямая $KA$ пересекает окружность в точках $B$ (ближняя к $K$) и $A$ (дальняя), прямая $KD$ — в точках $C$ (ближняя) и $D$ (дальняя). Получаются два треугольника с общей вершиной $K$: маленький $KBC$ и большой $KDA$.

Почему они подобны. Угол $K$ общий. Четырёхугольник $ABCD$ вписан, поэтому $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$. Угол $KBC$ смежный с углом $ABC$, значит, $\angle KBC=180^\circ-\angle ABC=\angle ADC$. Два угла равны — треугольники подобны.

Внимательно с соответствием: треугольники «развёрнуты». Вершине $B$ соответствует $D$, вершине $C$ — вершина $A$. Тогда стороне $BC$ соответствует $DA$, а стороне $KB$ — сторона $KD$:

$$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{KD}{KB}=\dfrac{24}{8}=3.$$

Большой треугольник втрое больше маленького, поэтому

$$AD=3\cdot BC=3\cdot 18=54.$$

Проверим себя: $AD$ — сторона большого треугольника, $BC$ — маленького, и действительно $54\gt 18$. А если по ошибке поставить в пару $KB$ и $KA$ вместо $KB$ и $KD$, подобие не сработает: длины $KA$ мы вообще не знаем.