Касательная,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00044026

Из точки $K$ выходят две прямые, и каждая пересекает окружность дважды: прямая $KB$ — в точках $A$ и $B$, прямая $KC$ — в точках $D$ и $C$. Получились два треугольника с общей вершиной $K$: маленький $KAD$ и большой $KCB$.

Покажем, что они подобны. Угол $K$ у них общий. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, а у вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают $180^\circ$: $\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$.

Угол $KAD$ смежный с углом $BAD$, поэтому $\angle KAD=180^\circ-\angle BAD=\angle BCD$. Итак, у треугольников по два равных угла — они подобны.

К тому же подобию можно прийти и иначе: для двух секущих из одной точки $KA\cdot KB=KD\cdot KC$, то есть $\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KD}{KB}$; две пары сторон пропорциональны, а угол $K$ между ними общий.

Соответствие вершин: $K\leftrightarrow K$, $A\leftrightarrow C$, $D\leftrightarrow B$. Значит, стороне $AD$ соответствует $CB$, а стороне $KD$ — сторона $KB$:

$$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{KD}{KB}=\dfrac{9}{18}.$$

Выразим $AD$:

$$AD=BC\cdot\dfrac{KD}{KB}=\dfrac{16\cdot 9}{18}=\dfrac{144}{18}=8.$$

Проверим себя: $AD$ — сторона маленького треугольника у точки $K$, а $BC$ — большого, поэтому $AD$ должна быть короче $BC$. Так и есть: $8\lt 16$.