ID: 00026759
Через точку $A$, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке $K$. Другая прямая пересекает окружность в точках $B$ и $C$, причём $AB=2{,}5$, $AC=10$. Найдите $AK$.
Источник: Сборник Ященко 2026
Касательная и секущая из одной точки — это готовая теорема, вспомним её словами.
Правило: квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:
$$AK^{2}=AB\cdot AC.$$
Обрати внимание: $AC$ — это расстояние от точки $A$ до ДАЛЬНЕЙ точки пересечения, то есть вся секущая целиком, а $AB$ — до ближней, внешняя часть. В условии даны ровно эти отрезки.
Подставляем:
$$AK^{2}=2{,}5\cdot10=25.$$
$$AK=\sqrt{25}=5.$$
Длина отрезка — число положительное, поэтому берём только положительный корень.
Проверка себя: касательная должна быть длиннее внешней части секущей и короче всей секущей: $2{,}5\lt 5\lt 10$. Сходится.