Треугольники… — Задание 15 ОГЭ по математике №00044014

Отрезок $MN$ идёт параллельно основанию $AC$, поэтому он «подрезает» треугольник: у вершины $B$ остаётся треугольник $MBN$ той же формы, что и $ABC$, только меньше.

Правило: прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает треугольник, подобный данному. Здесь угол $B$ общий, а углы при $M$ и $A$ равны как соответственные при $MN\parallel AC$.

Найдём, во сколько раз маленький треугольник меньше большого. Это видно по паре параллельных сторон $MN$ и $AC$:

$$\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}.$$

Ровно такую же долю сторона $BM$ составляет от стороны $BA$ (это соответствующие стороны у общей вершины $B$):

$$BM=\dfrac{2}{5}\cdot AB=\dfrac{2}{5}\cdot 25=\dfrac{50}{5}=10.$$

Точка $M$ делит сторону $AB$ на два куска: $BM$ у вершины $B$ и $AM$ у вершины $A$. Нам нужен второй:

$$AM=AB-BM=25-10=15.$$

Проверим себя на частном случае. Если бы $MN$ была средней линией, она равнялась бы половине $AC$, то есть $15$, и точка $M$ стояла бы ровно посередине $AB$. У нас $MN=12$ — меньше, значит, $M$ ближе к $B$, и отрезок $AM$ должен быть больше половины $AB$, то есть больше $12{,}5$. Так и есть: $15\gt 12{,}5$.