Треугольники… — Задание 15 ОГЭ по математике №00044013

Прямая $MN$ параллельна стороне $AC$ и отрезает от треугольника $ABC$ маленький треугольник $MBN$ у вершины $B$. Такой треугольник — уменьшенная копия большого.

Почему копия: угол $B$ у треугольников $MBN$ и $ABC$ общий, а углы $BMN$ и $BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$. Два угла одного треугольника равны двум углам другого — значит, треугольники подобны.

В подобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны. Стороне $MN$ соответствует сторона $AC$, а стороне $BM$ — сторона $BA$:

$$\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{MN}{AC},\qquad \dfrac{BM}{42}=\dfrac{24}{45}.$$

Выразим $BM$, умножив обе части на $42$:

$$BM=\dfrac{42\cdot 24}{45}=\dfrac{1008}{45}=22{,}4.$$

Но спрашивают не $BM$, а $AM$ — кусок стороны $AB$ от точки $M$ до вершины $A$. Вся сторона $AB=42$ складывается из $AM$ и $BM$, поэтому

$$AM=AB-BM=42-22{,}4=19{,}6.$$

Проверим себя: $\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{22{,}4}{42}=0{,}533\ldots$ и $\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{24}{45}=0{,}533\ldots$ — отношения совпали, значит, $BM$ найден верно.