Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038857

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$, $BC=2$, расстояние от $K$ до стороны $AB$ равно $1$. Найти площадь параллелограмма.

Шаг 1. Что даёт биссектриса угла $A$. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Угол $A$ — это угол $DAB$, его стороны лежат на прямых $AB$ и $AD$. Точка $K$ лежит на его биссектрисе, поэтому расстояние от $K$ до прямой $AD$ равно расстоянию от $K$ до прямой $AB$, то есть равно $1$.

Шаг 2. Что даёт биссектриса угла $B$. Угол $B$ — это угол $ABC$, его стороны лежат на прямых $AB$ и $BC$. Точка $K$ лежит и на этой биссектрисе, поэтому расстояние от $K$ до прямой $BC$ тоже равно расстоянию до $AB$, то есть равно $1$.

Шаг 3. Собираем высоту параллелограмма. Обе биссектрисы выходят из вершин стороны $AB$ внутрь параллелограмма, поэтому их точка пересечения $K$ лежит внутри него — в частности, между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Значит расстояние между этими прямыми равно сумме двух найденных расстояний: $1+1=2$. Это и есть высота параллелограмма, проведённая к стороне $BC$ (и к равной ей стороне $AD$).

Шаг 4. Площадь. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне: $S=BC\cdot h=2\cdot 2=4$.