Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038856

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=3$ и $AD=12$, диагональ $BD=6$. Надо доказать, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Шаг 1. Равные углы. $BC$ и $AD$ — основания трапеции, значит $BC\parallel AD$. Диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle CBD=\angle BDA$. В треугольнике $CBD$ этот угол лежит между сторонами $BC$ и $BD$, а в треугольнике $BDA$ — между сторонами $DB$ и $DA$.

Шаг 2. Считаем отношения прилежащих сторон. $\dfrac{BC}{DB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$. Отношения совпали, то есть $BD^{2}=BC\cdot AD$: $6^{2}=36=3\cdot 12$.

Шаг 3. Признак подобия. Две пары сторон пропорциональны, а углы между ними равны, значит по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle CBD\sim\triangle BDA$ с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.