Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038861

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00038861

Биссектрисы углов

$A$

$B$

параллелограмма

$ABCD$

пересекаются в точке

$K$

. Найдите площадь параллелограмма, если

$BC=19$

, а расстояние от точки

$K$

до стороны

$AB$

равно 10.

Источник: ФИПИ

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$K$$ , $$BC=19$$ , расстояние от $$K$$ до стороны $$AB$$ равно $$10$$ . Найти площадь параллелограмма.

Шаг 1. Что даёт биссектриса угла $$A$$ . Точка биссектрисы равноудалена от сторон своего угла. Стороны угла $$DAB$$ лежат на прямых $$AB$$ и $$AD$$ , поэтому расстояние от $$K$$ до прямой $$AD$$ равно расстоянию от $$K$$ до $$AB$$ , то есть равно $$10$$ .

Шаг 2. Что даёт биссектриса угла $$B$$ . Стороны угла $$ABC$$ лежат на прямых $$AB$$ и $$BC$$ , поэтому расстояние от $$K$$ до прямой $$BC$$ тоже равно $$10$$ .

Шаг 3. Собираем высоту параллелограмма. Обе биссектрисы выходят из вершин стороны $$AB$$ внутрь параллелограмма, значит точка $$K$$ лежит между параллельными прямыми $$AD$$ и $$BC$$ . Расстояние между этими прямыми равно $$10+10=20$$ — это высота параллелограмма, проведённая к стороне $$BC$$ .

Шаг 4. Площадь. $S=BC\cdot h=19\cdot 20=380$ .

Ответ

380

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)