Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038860

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00038860

Биссектрисы углов

$A$

$B$

параллелограмма

$ABCD$

пересекаются в точке

$K$

. Найдите площадь параллелограмма, если

$BC=17$

, а расстояние от точки

$K$

до стороны

$AB$

равно 10.

Источник: ФИПИ

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$K$$ , $$BC=17$$ , расстояние от $$K$$ до стороны $$AB$$ равно $$10$$ . Найти площадь параллелограмма.

Шаг 1. Что даёт биссектриса угла $$A$$ . Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Стороны угла $$A$$ (угла $$DAB$$ ) лежат на прямых $$AB$$ и $$AD$$ , поэтому расстояние от $$K$$ до прямой $$AD$$ равно расстоянию от $$K$$ до $$AB$$ , то есть равно $$10$$ .

Шаг 2. Что даёт биссектриса угла $$B$$ . Стороны угла $$B$$ (угла $$ABC$$ ) лежат на прямых $$AB$$ и $$BC$$ , поэтому расстояние от $$K$$ до прямой $$BC$$ тоже равно $$10$$ .

Шаг 3. Собираем высоту параллелограмма. Обе биссектрисы выходят из вершин стороны $$AB$$ внутрь параллелограмма, значит $$K$$ лежит внутри него — между параллельными прямыми $$AD$$ и $$BC$$ . Расстояние между этими прямыми равно $$10+10=20$$ ; это высота параллелограмма к стороне $$BC$$ .

Шаг 4. Площадь. $S=BC\cdot h=17\cdot 20=340$ .

Ответ

340

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)