Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038855

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=4,5$ и $AD=18$, диагональ $BD=9$. Надо доказать, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Шаг 1. Равные углы. $BC$ и $AD$ — основания трапеции, значит $BC\parallel AD$. Диагональ $BD$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle CBD=\angle BDA$. В треугольнике $CBD$ этот угол заключён между сторонами $BC$ и $BD$, в треугольнике $BDA$ — между сторонами $DB$ и $DA$.

Шаг 2. Считаем отношения прилежащих сторон. $\dfrac{BC}{DB}=\dfrac{4,5}{9}=\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2}$. Отношения равны. Это то же самое, что $BD^{2}=BC\cdot AD$: $9^{2}=81=4,5\cdot 18$.

Шаг 3. Признак подобия. Две пары сторон треугольников $CBD$ и $BDA$ пропорциональны, а углы между этими сторонами равны, значит по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle CBD\sim\triangle BDA$ с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.