Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038849

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=8$ и $AD=32$, диагональ $BD=16$. Надо доказать, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Шаг 1. Равные углы. $BC$ и $AD$ — основания трапеции, значит $BC\parallel AD$, а диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: $\angle CBD=\angle BDA$. В треугольнике $CBD$ этот угол лежит между сторонами $BC$ и $BD$, в треугольнике $BDA$ — между сторонами $DB$ и $DA$.

Шаг 2. Считаем отношения сторон, прилежащих к этим углам. $\dfrac{BC}{DB}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{2}$. Отношения совпали. Это то же самое, что $BD^{2}=BC\cdot AD$: $16^{2}=256=8\cdot 32$.

Шаг 3. Применяем признак подобия. Две пары сторон треугольников $CBD$ и $BDA$ пропорциональны, а углы между этими сторонами равны, значит по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle CBD\sim\triangle BDA$ с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.