Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038848

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=5$ и $AD=20$, диагональ $BD=10$. Надо доказать, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Шаг 1. Равные углы. $BC$ и $AD$ — основания трапеции, значит $BC\parallel AD$. Диагональ $BD$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle CBD=\angle BDA$. В треугольнике $CBD$ этот угол заключён между сторонами $BC$ и $BD$, а в треугольнике $BDA$ — между сторонами $DB$ и $DA$.

Шаг 2. Считаем отношения сторон, прилежащих к этим углам. $\dfrac{BC}{DB}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$. Отношения равны. Другими словами, $BD^{2}=BC\cdot AD$, ведь $10^{2}=100=5\cdot 20$: диагональ — среднее геометрическое оснований.

Шаг 3. Применяем признак подобия. В треугольниках $CBD$ и $BDA$ две пары сторон пропорциональны, а углы между ними равны, значит по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle CBD\sim\triangle BDA$ с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.