Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038847

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=6$ и $AD=24$, диагональ $BD=12$. Надо доказать, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Шаг 1. Равные углы. $BC$ и $AD$ — основания трапеции, значит $BC\parallel AD$. Диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle CBD=\angle BDA$. Это и будет тот угол, который «работает» в признаке подобия: в треугольнике $CBD$ он заключён между сторонами $BC$ и $BD$, а в треугольнике $BDA$ — между сторонами $DB$ и $DA$.

Шаг 2. Считаем отношения сторон, прилежащих к этим углам. $\dfrac{BC}{DB}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}$. Отношения совпали: $\dfrac{BC}{DB}=\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{1}{2}$. По сути это означает, что $BD^{2}=BC\cdot AD$, ведь $12^{2}=144=6\cdot 24$, — диагональ является средним геометрическим оснований, и именно ради этого подобраны числа задачи.

Шаг 3. Применяем признак подобия. В треугольниках $CBD$ и $BDA$ две пары сторон пропорциональны ($BC$ и $DB$, $BD$ и $DA$), а углы между этими сторонами равны ($\angle CBD=\angle BDA$). По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle CBD\sim\triangle BDA$ с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.