Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038843

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, $BK=4$, $CK=19$. Найти периметр параллелограмма.

Шаг 1. Равные углы. $AK$ — биссектриса угла $BAD$, значит $\angle BAK=\angle KAD$. В параллелограмме $BC\parallel AD$, а $AK$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle KAD=\angle AKB$. Сложив два равенства в цепочку, получаем $\angle BAK=\angle AKB$.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. В треугольнике $ABK$ два угла при основании $AK$ равны, значит по признаку равнобедренного треугольника он равнобедренный, и стороны, лежащие против этих углов, равны: $AB=BK=4$.

Шаг 3. Находим вторую сторону. Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC=BK+CK=4+19=23$.

Шаг 4. Периметр. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому периметр равен $P=2\cdot(AB+BC)=2\cdot(4+23)=2\cdot 27=54$.