Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038842

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $CD=2\cdot AD$, точка $N$ — середина стороны $CD$. Надо доказать, что луч $AN$ делит угол $BAD$ пополам.

Шаг 1. Сравним отрезки. Точка $N$ — середина $CD$, поэтому $DN=\dfrac{CD}{2}$. По условию $CD=2\cdot AD$, значит $DN=\dfrac{2\cdot AD}{2}=AD$. Итак, $DN=AD$.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Рассмотрим треугольник $ADN$: в нём $AD=DN$, значит он равнобедренный с основанием $AN$. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $\angle DAN=\angle DNA$.

Шаг 3. Накрест лежащие углы. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $CD\parallel AB$. Прямая $AN$ — секущая для этих параллельных прямых, углы $\angle DNA$ и $\angle NAB$ при ней накрест лежащие, значит $\angle DNA=\angle NAB$.

Шаг 4. Собираем цепочку. Из шагов 2 и 3: $\angle DAN=\angle DNA=\angle NAB$, то есть $\angle DAN=\angle NAB$. Точка $N$ лежит на стороне $CD$, поэтому луч $AN$ проходит внутри угла $BAD$ и делит его на два равных угла — по определению $AN$ является биссектрисой угла $BAD$. Что и требовалось доказать.