Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038840

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей, прямая через $O$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а сторону $AD$ — в точке $M$. Надо доказать, что $BK=DM$.

Шаг 1. Что даёт точка $O$. По свойству параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит $O$ — середина диагонали $BD$, то есть $OB=OD$.

Шаг 2. Выбираем треугольники. Нужные отрезки $BK$ и $DM$ лежат в треугольниках $BOK$ и $DOM$ — их и будем сравнивать.

Шаг 3. Равные углы. Точки $K$, $O$, $M$ лежат на одной прямой, а точки $B$, $O$, $D$ — на диагонали $BD$, поэтому лучи $OK$ и $OM$ противоположны и лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Значит, углы $\angle BOK$ и $\angle DOM$ вертикальные, а вертикальные углы равны: $\angle BOK=\angle DOM$. Кроме того, $BC\parallel AD$ (противоположные стороны параллелограмма), а $BD$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle OBK=\angle ODM$.

Шаг 4. Признак равенства треугольников. В треугольниках $BOK$ и $DOM$ сторона $OB$ равна стороне $OD$, а прилежащие к ним углы попарно равны ($\angle BOK=\angle DOM$ и $\angle OBK=\angle ODM$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) $\triangle BOK=\triangle DOM$.

Шаг 5. Вывод. В равных треугольниках соответственные стороны равны, а сторонам $BK$ и $DM$ соответствуют друг другу, поэтому $BK=DM$. Что и требовалось доказать.