Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038839

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $BC=2\cdot AB$, точка $K$ — середина стороны $BC$. Надо доказать, что луч $AK$ делит угол $BAD$ пополам.

Шаг 1. Сравним отрезки. Точка $K$ — середина $BC$, поэтому $BK=\dfrac{BC}{2}$. По условию $BC=2\cdot AB$, значит $BK=\dfrac{2\cdot AB}{2}=AB$. Итак, $BK=AB$.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Рассмотрим треугольник $ABK$: в нём $AB=BK$, значит он равнобедренный с основанием $AK$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAK=\angle BKA$.

Шаг 3. Накрест лежащие углы. В параллелограмме $BC\parallel AD$. Прямая $AK$ — секущая для этих параллельных прямых, углы $\angle BKA$ и $\angle KAD$ при ней накрест лежащие, значит $\angle BKA=\angle KAD$.

Шаг 4. Собираем цепочку. Из шагов 2 и 3: $\angle BAK=\angle BKA=\angle KAD$, то есть $\angle BAK=\angle KAD$. Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому луч $AK$ проходит внутри угла $BAD$ и делит его на два равных угла, то есть является биссектрисой угла $BAD$. Что и требовалось доказать.