Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038838

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AD=2\cdot CD$, точка $M$ — середина стороны $AD$. Надо доказать, что луч $CM$ делит угол $BCD$ пополам.

Шаг 1. Сравним отрезки. Точка $M$ — середина $AD$, поэтому $MD=\dfrac{AD}{2}$. По условию $AD=2\cdot CD$, значит $MD=\dfrac{2\cdot CD}{2}=CD$. Итак, $MD=CD$.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Рассмотрим треугольник $MDC$: в нём $MD=DC$, значит он равнобедренный с основанием $MC$. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $\angle DMC=\angle DCM$.

Шаг 3. Накрест лежащие углы. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AD\parallel BC$. Прямая $CM$ — секущая для этих параллельных прямых, углы $\angle DMC$ и $\angle MCB$ при ней накрест лежащие, а такие углы равны: $\angle DMC=\angle MCB$.

Шаг 4. Собираем цепочку. Из шагов 2 и 3: $\angle DCM=\angle DMC=\angle MCB$, то есть $\angle DCM=\angle MCB$. Точка $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому луч $CM$ проходит внутри угла $BCD$ и делит его на два равных угла — по определению $CM$ является биссектрисой угла $BCD$. Что и требовалось доказать.