Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038834

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AB=2\cdot BC$, точка $L$ — середина стороны $AB$. Надо доказать, что луч $CL$ делит угол $BCD$ пополам.

Шаг 1. Сравним отрезки. Точка $L$ — середина $AB$, поэтому $BL=\dfrac{AB}{2}$. По условию $AB=2\cdot BC$, значит $BL=\dfrac{2\cdot BC}{2}=BC$. Итак, $BL=BC$.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Рассмотрим треугольник $BCL$: в нём $BC=BL$, значит он равнобедренный с основанием $CL$. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $\angle BCL=\angle BLC$.

Шаг 3. Накрест лежащие углы. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AB\parallel CD$. Прямая $CL$ — секущая для этих параллельных прямых, углы $\angle BLC$ и $\angle LCD$ при ней накрест лежащие, а такие углы при параллельных прямых равны: $\angle BLC=\angle LCD$.

Шаг 4. Собираем цепочку. Из шагов 2 и 3 получаем $\angle BCL=\angle BLC=\angle LCD$, то есть $\angle BCL=\angle LCD$. Точка $L$ лежит на стороне $AB$, поэтому луч $CL$ проходит внутри угла $BCD$ и делит его на два равных угла — по определению это биссектриса угла $BCD$. Что и требовалось доказать.