Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038833

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения его диагоналей, прямая через $O$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$, а сторону $AD$ — в точке $N$. Надо доказать, что $CL=AN$.

Шаг 1. Что даёт точка $O$. По свойству параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O$ — середина диагонали $AC$, то есть $OC=OA$.

Шаг 2. Выбираем треугольники. Рассмотрим треугольники $COL$ и $AON$: их стороны $OC$ и $OA$ уже сравнили, а вершины $L$ и $N$ лежат на одной прямой, проходящей через $O$.

Шаг 3. Равные углы. Углы $\angle COL$ и $\angle AON$ — вертикальные (лучи $OC$ и $OA$ противоположны, лучи $OL$ и $ON$ тоже противоположны, ведь $L$, $O$, $N$ лежат на одной прямой), а вертикальные углы равны: $\angle COL=\angle AON$. Далее, в параллелограмме $BC\parallel AD$, а $AC$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы $\angle OCL$ и $\angle OAN$ равны.

Шаг 4. Признак равенства треугольников. В треугольниках $COL$ и $AON$: $OC=OA$, $\angle COL=\angle AON$, $\angle OCL=\angle OAN$. Сторона $OC$ (соответственно $OA$) прилежит к обоим этим углам, значит треугольники равны по второму признаку — по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Шаг 5. Вывод. В равных треугольниках соответственные стороны равны, а сторонам $CL$ и $AN$ соответствуют друг другу, поэтому $CL=AN$. Что и требовалось доказать.