Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038830

Дано: выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle ABD=\angle ACD$. Надо доказать, что $\angle DAC=\angle DBC$.

Шаг 1. Что означает равенство данных углов. Углы $ABD$ и $ACD$ — это углы, под которыми виден один и тот же отрезок $AD$ из точек $B$ и $C$. Четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, а $AD$ — его сторона, поэтому вершины $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$.

Шаг 2. Четыре точки на одной окружности. Используем теорему, обратную теореме о вписанном угле: если из двух точек, лежащих по одну сторону от прямой $AD$, отрезок $AD$ виден под равными углами, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Значит, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности, то есть четырёхугольник $ABCD$ — вписанный.

Шаг 3. Применяем теорему о вписанном угле. Теперь посмотрим на углы $DAC$ и $DBC$. Угол $DAC$ — вписанный угол с вершиной $A$, опирающийся на хорду $DC$; угол $DBC$ — вписанный угол с вершиной $B$, опирающийся на ту же хорду $DC$. Четырёхугольник выпуклый и $DC$ — его сторона, поэтому вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $DC$, то есть оба угла опираются на одну и ту же дугу $DC$.

Шаг 4. Вывод. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому $\angle DAC=\angle DBC$. Что и требовалось доказать.