Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038829

Дано: в четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $BC$. Надо доказать, что расстояния от $M$ до прямых $AB$, $AD$ и $CD$ равны между собой.

Шаг 1. Главное свойство биссектрисы. Всё решение держится на одном факте: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла, то есть от двух прямых, на которых лежат стороны. Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Шаг 2. Точка $M$ на биссектрисе угла $A$. Угол $A$ четырёхугольника — это угол $DAB$, его стороны лежат на прямых $AB$ и $AD$. Так как $M$ лежит на биссектрисе этого угла, расстояние от $M$ до прямой $AB$ равно расстоянию от $M$ до прямой $AD$. Обозначим это общее расстояние $d$.

Шаг 3. Точка $M$ на биссектрисе угла $D$. Угол $D$ — это угол $ADC$, его стороны лежат на прямых $AD$ и $CD$. Так как $M$ лежит и на этой биссектрисе, расстояние от $M$ до прямой $CD$ равно расстоянию от $M$ до прямой $AD$. Но расстояние от $M$ до $AD$ уже равно $d$, значит и расстояние от $M$ до $CD$ равно $d$.

Шаг 4. Вывод. Расстояния от $M$ до $AB$, до $AD$ и до $CD$ равны одному и тому же числу $d$, то есть точка $M$ равноудалена от этих трёх прямых. Что и требовалось доказать. Условие «$M$ лежит на стороне $BC$» задаёт лишь конфигурацию чертежа и на ход доказательства не влияет.