Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038828

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AB=2\cdot AD$, точка $L$ — середина стороны $AB$. Надо доказать, что луч $DL$ делит угол $ADC$ пополам.

Шаг 1. Сравним два отрезка. Точка $L$ — середина $AB$, поэтому $AL=\dfrac{AB}{2}$. По условию $AB=2\cdot AD$, значит $AL=\dfrac{2\cdot AD}{2}=AD$. Получили $AL=AD$ — с этого равенства и начинается доказательство.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Рассмотрим треугольник $ADL$. В нём $AD=AL$, значит он равнобедренный с основанием $DL$. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $\angle ADL=\angle ALD$.

Шаг 3. Накрест лежащие углы. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AB\parallel CD$. Прямая $DL$ — секущая для этих параллельных прямых, а углы $\angle ALD$ и $\angle LDC$ при ней накрест лежащие. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, значит $\angle ALD=\angle LDC$.

Шаг 4. Собираем цепочку. Из шагов 2 и 3: $\angle ADL=\angle ALD=\angle LDC$, то есть $\angle ADL=\angle LDC$. Точка $L$ лежит на стороне $AB$, поэтому луч $DL$ проходит внутри угла $ADC$ и делит его на два равных угла. По определению биссектрисы $DL$ — биссектриса угла $ADC$. Что и требовалось доказать.