Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038827

Дано: в четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $CD$. Надо доказать, что расстояния от $K$ до прямых $AB$, $BC$ и $AD$ равны между собой.

Шаг 1. Главное свойство биссектрисы. Работаем с одним фактом: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла (то есть от двух прямых, на которых лежат стороны). Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Шаг 2. Точка $K$ на биссектрисе угла $A$. Угол $A$ четырёхугольника — это угол $DAB$, его стороны лежат на прямых $AD$ и $AB$. Точка $K$ лежит на биссектрисе этого угла, значит расстояние от $K$ до прямой $AD$ равно расстоянию от $K$ до прямой $AB$. Обозначим это общее расстояние $d$: тогда расстояние от $K$ до $AD$ равно $d$ и расстояние от $K$ до $AB$ равно $d$.

Шаг 3. Точка $K$ на биссектрисе угла $B$. Угол $B$ — это угол $ABC$, его стороны лежат на прямых $AB$ и $BC$. Точка $K$ лежит и на этой биссектрисе, значит расстояние от $K$ до прямой $BC$ равно расстоянию от $K$ до прямой $AB$. Но расстояние от $K$ до $AB$ мы уже обозначили $d$, значит и расстояние от $K$ до $BC$ равно $d$.

Шаг 4. Вывод. Все три расстояния — от $K$ до $AB$, до $BC$ и до $AD$ — оказались равны одному и тому же числу $d$. Значит, точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$. Что и требовалось доказать.

Заметим: условие «$K$ лежит на стороне $CD$» нужно лишь для того, чтобы картинка была именно такой, как в задаче; на само доказательство оно не влияет.