Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038826

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $CD=2\cdot BC$, точка $N$ — середина стороны $CD$. Надо доказать, что луч $BN$ делит угол $ABC$ пополам.

Шаг 1. Сравним два отрезка. Точка $N$ — середина $CD$, поэтому $CN=\dfrac{CD}{2}$. По условию $CD=2\cdot BC$, значит $CN=\dfrac{2\cdot BC}{2}=BC$. Итак, $CN=BC$ — это ключ ко всему решению.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Рассмотрим треугольник $BCN$. В нём две стороны равны: $BC=CN$, значит треугольник равнобедренный с основанием $BN$. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны, поэтому $\angle CBN=\angle CNB$.

Шаг 3. Накрест лежащие углы. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит $CD\parallel AB$. Прямая $BN$ — секущая для этих двух параллельных прямых. Углы $\angle CNB$ и $\angle NBA$ при этой секущей — накрест лежащие, а накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: $\angle CNB=\angle NBA$.

Шаг 4. Собираем цепочку. $\angle CBN=\angle CNB$ (шаг 2) и $\angle CNB=\angle NBA$ (шаг 3), значит $\angle CBN=\angle NBA$. Точка $N$ лежит на стороне $CD$, поэтому луч $BN$ проходит внутри угла $ABC$ и делит его на два равных угла $\angle ABN$ и $\angle NBC$. По определению это и означает, что $BN$ — биссектриса угла $ABC$. Что и требовалось доказать.