Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038825

Обозначим основания трапеции: $BC=a$, $AD=b$, а высоту трапеции (расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$) — $h$. Надо доказать, что $S_{BFC}+S_{AFD}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$ при любом положении точки $F$ на средней линии.

Шаг 1. Где именно лежит точка $F$. Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Её концы — середины боковых сторон, значит вся средняя линия проходит ровно посередине между прямыми $BC$ и $AD$. Поэтому расстояние от любой её точки, в том числе от $F$, до прямой $BC$ равно $\dfrac{h}{2}$, и расстояние от $F$ до прямой $AD$ тоже равно $\dfrac{h}{2}$.

Шаг 2. Площадь треугольника $BFC$. Возьмём за основание сторону $BC=a$. Высота треугольника к этому основанию — это расстояние от вершины $F$ до прямой $BC$, то есть $\dfrac{h}{2}$. По формуле площади треугольника $S=\dfrac{1}{2}\cdot\text{основание}\cdot\text{высота}$ получаем $S_{BFC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{ah}{4}$.

Шаг 3. Площадь треугольника $AFD$. Точно так же берём за основание $AD=b$, высота — расстояние от $F$ до прямой $AD$, то есть $\dfrac{h}{2}$. Значит $S_{AFD}=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{bh}{4}$.

Шаг 4. Складываем. $S_{BFC}+S_{AFD}=\dfrac{ah}{4}+\dfrac{bh}{4}=\dfrac{(a+b)h}{4}$.

Шаг 5. Сравниваем с площадью трапеции. По формуле площади трапеции $S_{ABCD}=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$, поэтому её половина равна $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a+b}{2}\cdot h=\dfrac{(a+b)h}{4}$.

Получились одинаковые выражения: $S_{BFC}+S_{AFD}=\dfrac{(a+b)h}{4}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$. Заметим, что в вычислениях нигде не использовалось, где именно на средней линии стоит $F$ — работало только расстояние $\dfrac{h}{2}$, одинаковое для всех её точек. Что и требовалось доказать.