Окружность,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00038050

Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, — это диаметр окружности (все четыре вершины прямоугольника лежат на окружности, а диагональ стягивает развёрнутый угол 180°, то есть проходит через центр). Значит, диагональ $d=13$.

Диагональ и сторона образуют прямоугольный треугольник со сторонами прямоугольника: если угол между диагональю и одной стороной $a$ равен $\alpha$, то напротив него лежит вторая сторона $b$, значит $\sin\alpha=\dfrac{b}{d}$, а $\cos\alpha=\dfrac{a}{d}$.

По условию $\sin\alpha=\dfrac{12}{13}$, тогда $b=d\cdot\sin\alpha=13\cdot\dfrac{12}{13}=12$. Косинус находим по основному тригонометрическому тождеству: $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\dfrac{5}{13}$, тогда $a=d\cdot\cos\alpha=13\cdot\dfrac{5}{13}=5$.

Площадь прямоугольника: $S=a\cdot b=5\cdot12=60$.