Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00025139

💡 Идея. Продли биссектрису до пересечения с прямой $BC$. Середина боковой стороны превратит два треугольника в равные, а биссектриса вместе с параллельностью даст равнобедренный треугольник — и сумма сама соберётся.

В трапеции $ABCD$ основания параллельны: $BC\parallel AD$, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

Продолжим луч $AT$ до пересечения с прямой $BC$ и обозначим точку пересечения $P$.

Сначала докажем, что $CP=AD$. Рассмотрим треугольники $TCP$ и $TDA$.

Стороны $TC$ и $TD$ равны, ведь $T$ — середина стороны $CD$.

Углы $CTP$ и $DTA$ вертикальные, поэтому равны.

Углы $TCP$ и $TDA$ — накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$, поэтому тоже равны.

Значит, треугольники $TCP$ и $TDA$ равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда соответственные стороны равны: $CP=DA$.

Теперь займёмся углами. $AT$ — биссектриса угла $BAD$, поэтому $\angle BAP=\angle PAD$.

Углы $PAD$ и $APB$ — накрест лежащие при параллельных $BC$ и $AD$ и секущей $AP$, поэтому $\angle APB=\angle PAD$.

Соединяем два равенства и получаем $\angle BAP=\angle APB$: в треугольнике $ABP$ два угла равны.

Правило: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны, поэтому треугольник $ABP$ равнобедренный и $AB=BP$.

Осталось собрать всё вместе. Точка $C$ лежит между $B$ и $P$, поэтому $BP=BC+CP$. Подставляем $CP=AD$:

$$AB=BP=BC+CP=BC+AD,$$

что и требовалось доказать.

Проверка себя: обе части доказательства опираются на разные условия — равенство треугольников дало $CP=AD$ и держится на том, что $T$ середина; равнобедренность дала $AB=BP$ и держится на том, что $AT$ биссектриса. Уберёшь любое условие — вывод рассыплется.