ID: 00025139
Точка $T$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$, а $AT$ — биссектриса угла $BAD$. Докажите, что $AB=BC+AD$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Продли биссектрису до пересечения с прямой $BC$. Середина боковой стороны превратит два треугольника в равные, а биссектриса вместе с параллельностью даст равнобедренный треугольник — и сумма сама соберётся.
В трапеции $ABCD$ основания параллельны: $BC\parallel AD$, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.
Продолжим луч $AT$ до пересечения с прямой $BC$ и обозначим точку пересечения $P$.
Сначала докажем, что $CP=AD$. Рассмотрим треугольники $TCP$ и $TDA$.
Стороны $TC$ и $TD$ равны, ведь $T$ — середина стороны $CD$.
Углы $CTP$ и $DTA$ вертикальные, поэтому равны.
Углы $TCP$ и $TDA$ — накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$, поэтому тоже равны.
Значит, треугольники $TCP$ и $TDA$ равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда соответственные стороны равны: $CP=DA$.
Теперь займёмся углами. $AT$ — биссектриса угла $BAD$, поэтому $\angle BAP=\angle PAD$.
Углы $PAD$ и $APB$ — накрест лежащие при параллельных $BC$ и $AD$ и секущей $AP$, поэтому $\angle APB=\angle PAD$.
Соединяем два равенства и получаем $\angle BAP=\angle APB$: в треугольнике $ABP$ два угла равны.
Правило: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны, поэтому треугольник $ABP$ равнобедренный и $AB=BP$.
Осталось собрать всё вместе. Точка $C$ лежит между $B$ и $P$, поэтому $BP=BC+CP$. Подставляем $CP=AD$:
$$AB=BP=BC+CP=BC+AD,$$
что и требовалось доказать.
Проверка себя: обе части доказательства опираются на разные условия — равенство треугольников дало $CP=AD$ и держится на том, что $T$ середина; равнобедренность дала $AB=BP$ и держится на том, что $AT$ биссектриса. Уберёшь любое условие — вывод рассыплется.