Задание 24 ОГЭ по математике: Точка T — середина боковой стороны CD трапеции ABCD , а AT —…

💡 Идея. Продли биссектрису до пересечения с прямой BC. Середина боковой стороны превратит два треугольника в равные, а биссектриса вместе с параллельностью даст равнобедренный треугольник — и сумма сама соберётся.

В трапеции ABCD основания параллельны: BC\parallel AD, а AB и CD — боковые стороны.

Продолжим луч AT до пересечения с прямой BC и обозначим точку пересечения P.

Сначала докажем, что CP=AD. Рассмотрим треугольники TCP и TDA.

Стороны TC и TD равны, ведь T — середина стороны CD.

Углы CTP и DTA вертикальные, поэтому равны.

Углы TCP и TDA — накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей CD, поэтому тоже равны.

Значит, треугольники TCP и TDA равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда соответственные стороны равны: CP=DA.

Теперь займёмся углами. AT — биссектриса угла BAD, поэтому \angle BAP=\angle PAD.

Углы PAD и APB — накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AP, поэтому \angle APB=\angle PAD.

Соединяем два равенства и получаем \angle BAP=\angle APB: в треугольнике ABP два угла равны.

Правило: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны, поэтому треугольник ABP равнобедренный и AB=BP.

Осталось собрать всё вместе. Точка C лежит между B и P, поэтому BP=BC+CP. Подставляем CP=AD:

AB=BP=BC+CP=BC+AD,

что и требовалось доказать.

Проверка себя: обе части доказательства опираются на разные условия — равенство треугольников дало CP=AD и держится на том, что T середина; равнобедренность дала AB=BP и держится на том, что AT биссектриса. Уберёшь любое условие — вывод рассыплется.