Задание 24 ОГЭ по математике: Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32 , BD…
№2. Задание 24
ID: 00025134
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD=8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Источник: Сборник Ященко 2026
Решение
💡 Идея. У обоих треугольников есть общая сторона BD и пара накрест лежащих углов. Остаётся проверить пропорциональность сторон при этих углах — и сработает второй признак подобия.
В трапеции ABCD основания параллельны: BC\parallel AD.
Углы CBD и BDA — накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD, поэтому \angle CBD=\angle BDA.
Посмотрим, какими сторонами образован этот угол. В треугольнике CBD он заключён между сторонами BC и BD, в треугольнике BDA — между сторонами DB и DA.
Сравним отношения этих сторон:
\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4},\qquad \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}.
Отношения совпали, значит, стороны, заключающие равные углы, пропорциональны.
Правило: если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, заключающие эти углы, пропорциональны, то треугольники подобны (второй признак подобия).
Следовательно, треугольники CBD и BDA подобны, что и требовалось доказать.
Проверка себя: соответствие вершин здесь такое — C\to B, B\to D, D\to A, коэффициент подобия \dfrac{1}{4}. Обрати внимание: диагональ BD оказалась средним геометрическим оснований, ведь 8^{2}=2\cdot 32 — именно это и делает треугольники подобными.
Ответ
Доказано: треугольники CBD и BDA подобны — накрест лежащие углы \angle CBD=\angle BDA при BC\parallel AD, а стороны при них пропорциональны \dfrac{BC}{BD}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{BD}{DA}, откуда подобие по двум сторонам и углу между ними