Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00025130

💡 Идея. У обоих треугольников есть общая сторона $BD$ и пара накрест лежащих углов. Остаётся проверить, что стороны при этих углах пропорциональны — и сработает второй признак подобия.

В трапеции $ABCD$ основания параллельны: $BC\parallel AD$.

Углы $CBD$ и $BDA$ — накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$, поэтому $\angle CBD=\angle BDA$.

Посмотрим, какими сторонами образован этот угол. В треугольнике $CBD$ угол при вершине $B$ заключён между сторонами $BC$ и $BD$. В треугольнике $BDA$ угол при вершине $D$ заключён между сторонами $DB$ и $DA$.

Сравним отношения этих сторон:

$$\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}.$$

Отношения совпали, значит, стороны, заключающие равные углы, пропорциональны.

Правило: если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, заключающие эти углы, пропорциональны, то треугольники подобны (второй признак подобия).

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны, что и требовалось доказать.

Проверка себя: соответствие вершин здесь именно такое — $C\to B$, $B\to D$, $D\to A$, а коэффициент подобия равен $\dfrac{1}{2}$. Значит, и третья пара сторон обязана относиться так же: $\dfrac{CD}{BA}=\dfrac{1}{2}$.