Касательная,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00025101

Радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Значит, $OA\perp CA$ и $OB\perp CB$, то есть углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ равны по $90^{\circ}$.

Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$ (вершины по порядку: $C$, затем точка касания $A$, центр $O$, точка касания $B$). Сумма всех углов любого четырёхугольника равна $360^{\circ}$.

$$\angle C+\angle A+\angle O+\angle B=360^{\circ}.$$

Подставим известное: $77^{\circ}+90^{\circ}+\angle AOB+90^{\circ}=360^{\circ}$.

$$\angle AOB=360^{\circ}-77^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=103^{\circ}.$$

Проверка: $77+90+103+90=360$ — сумма углов четырёхугольника сошлась.