Задание 24 ОГЭ по математике: Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K ,…
№2. Задание 24
ID: 00025091
Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.
Источник: Сборник Ященко 2026
Решение
💡 Идея. Всё доказательство держится на одном свойстве биссектрисы: каждая её точка одинаково удалена от обеих сторон угла. Осталось применить его дважды и склеить.
Правило: любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла (от прямых, содержащих стороны).
Точка K лежит на биссектрисе угла A. Стороны угла A трапеции — лучи AB и AD. Значит,
\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ AD),
где \rho — расстояние от точки до прямой.
Точка K лежит и на биссектрисе угла B. Стороны угла B — лучи BA и BC. Значит,
\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ BC).
Обрати внимание: в обоих равенствах участвует одно и то же расстояние — до прямой AB. Через него две цепочки склеиваются в одну:
\rho(K,\ AD)=\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ BC).
Все три расстояния равны, то есть точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD, что и требовалось доказать.
Проверка себя: условие «K лежит на CD» гарантирует, что обе биссектрисы действительно встречаются в одной точке внутри трапеции — само равенство расстояний из него не берётся, оно берётся из свойства биссектрисы.
Ответ
Доказано: точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD — как точка биссектрисы угла A она равноудалена от сторон AB и AD, как точка биссектрисы угла B — от сторон AB и BC; расстояние до AB входит в обе пары, поэтому все три расстояния равны