Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00025091

💡 Идея. Всё доказательство держится на одном свойстве биссектрисы: каждая её точка одинаково удалена от обеих сторон угла. Осталось применить его дважды и склеить.

Правило: любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла (от прямых, содержащих стороны).

Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$. Стороны угла $A$ трапеции — лучи $AB$ и $AD$. Значит,

$$\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ AD),$$

где $\rho$ — расстояние от точки до прямой.

Точка $K$ лежит и на биссектрисе угла $B$. Стороны угла $B$ — лучи $BA$ и $BC$. Значит,

$$\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ BC).$$

Обрати внимание: в обоих равенствах участвует одно и то же расстояние — до прямой $AB$. Через него две цепочки склеиваются в одну:

$$\rho(K,\ AD)=\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ BC).$$

Все три расстояния равны, то есть точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$, что и требовалось доказать.

Проверка себя: условие «$K$ лежит на $CD$» гарантирует, что обе биссектрисы действительно встречаются в одной точке внутри трапеции — само равенство расстояний из него не берётся, оно берётся из свойства биссектрисы.