ID: 00025091
Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Всё доказательство держится на одном свойстве биссектрисы: каждая её точка одинаково удалена от обеих сторон угла. Осталось применить его дважды и склеить.
Правило: любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла (от прямых, содержащих стороны).
Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$. Стороны угла $A$ трапеции — лучи $AB$ и $AD$. Значит,
$$\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ AD),$$
где $\rho$ — расстояние от точки до прямой.
Точка $K$ лежит и на биссектрисе угла $B$. Стороны угла $B$ — лучи $BA$ и $BC$. Значит,
$$\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ BC).$$
Обрати внимание: в обоих равенствах участвует одно и то же расстояние — до прямой $AB$. Через него две цепочки склеиваются в одну:
$$\rho(K,\ AD)=\rho(K,\ AB)=\rho(K,\ BC).$$
Все три расстояния равны, то есть точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$, что и требовалось доказать.
Проверка себя: условие «$K$ лежит на $CD$» гарантирует, что обе биссектрисы действительно встречаются в одной точке внутри трапеции — само равенство расстояний из него не берётся, оно берётся из свойства биссектрисы.